Metodos de un paso

6.1 Métodos de un paso

Los métodos de Euler.

Una de las técnicas más simples para aproximar soluciones de ecuaciones diferenciales es conocida como Método de Euler o método de las tangentes. Supongamos que queremos aproximar la solución del problema de valores iniciales y ’ = f(x, y) para el cual y(x0) = y0. Si h es un incremento positivo sobre el eje x, entonces, como se muestra en la figura, podemos encontrar un punto Q(x1, y1) = (x0 + h, y1) sobre la tangente en P (x0, yo) a la curva solución desconocida.

De la ecuación de una recta que pasa por un punto dado, tenemos:

y1 - y0

(x0 + h) - x0

= y0¢

;

y1 - y0 = y¢ h 0

o bien

y1 = y0 + hy0¢

en donde

y0¢ = f (x0 , y0 )

Si denotamos x0 + h por x1, entonces el punto Q(x1, y1) ubicado sobre la tangente es una aproximación del punto R(x1, y(x1)) que se encuentra sobre la curva solución. Esto es y1 ≈ y(x1).

Por supuesto, la exactitud de la aproximación depende mucho del tamaño del incremento h. Usualmente debemos elegir el tamaño de esta medida de modo que sea “razonablemente pequeña.

Suponiendo que h tiene un valor uniforme (constante), podemos obtener una sucesión de puntos (x1,y1), (x2, y2), . . ., (xn, yn), que sean aproximaciones de los puntos (x1,y(x1)), (x2,y(x2)), . . ., (xn, y(xn)).

Ahora bien, usando el valor de y2 que es la ordenada de un punto sobre una nueva “tangente”, tenemos:

y2 - y1 = y h 1

; o bien

y2 = y1 + hy1¢

es decir

y2 = y1 + h f (x1 , y1 )

En general se tiene que:

yn +1 = yn + hyn¢

yn +1 = yn + h f (xn , yn )

En donde xn = x0 + nh.

El método de Euler mejorado o fórmula de Heun.

La fórmula

yn+1

= yn

+ h f (xn , yn ) + f (xn+1 , y *n+1 )

. . . . . . (A)

donde

y *n+1 = yn + hf (xn , yn )

se conoce como Fórmula de Euler mejorada o Fórmula de Heun.

Los valores de f(xn, yn) y f(xn+1, y٭n+1) son aproximaciones de la pendiente de la curva en (xn, y(xn)) y (xn+1,y(xn+1)) y en consecuencia el cociente

f (xn , yn ) + f (xn+1 , y *n+1 )

2 puede ser interpretado como una pendiente promedio en

el intervalo entre xn, xn+1. Las ecuaciones de (A) se pueden visualizar fácilmente. En la figura se muestra el caso en que n = 0.

Observe que f(x0, y0) y f(x1, y٭1) son las pendientes de las rectas indicadas que pasan por los puntos (x0, y0) y (x1, y٭1), respectivamente.

Tomando un promedio de estas pendientes obtenemos la pendiente de las rectas oblicuas (flechas).

En lugar de seguir la recta de pendiente m = f(x0, y0) hasta el punto de ordenada y٭1 obtenida por el método de Euler usual, seguimos la recta por (x0, y0) con pendiente mprom hasta llegar a x1.

Examinando la figura, es plausible admitir que y1 es una mejora de y٭1.

Además podríamos decir que el valor de y(x1), mientras que:

y *1 = y0 + hf (x0 , y0 )

predice un valor de

y1 = y0

+ h f (x0 , y0 ) + f (x1 , y *1 )

, corrige esta estimación.

Métodos de Runge-Kutta

Se trata de una familia de métodos en lugar de calcular derivadas de orden superior, se evalúa la función en un mayor número de puntos, tratando de igualar la precisión del método de la serie de Taylor.