Aplicaciones

 Las ecuaciones diferenciales tienen gran aplicación en el campo de la ingeniería debido a su uso como modelos matemáticos de sistemas físicos transitorios en el tiempo. Conocer la respuesta de un sistema físico y poder predecir su comportamiento facilitará el diseño de entornos estables y confiables. Una aplicación de las ecuaciones diferenciales lineales de primero orden surge al estudiar un tanque de mezclado uniforme con flujos volumétricos constantes y donde la concentración se mantiene homogénea en el tanque. La finalidad de dicho estudio es conocer la cantidad de masa de soluto presente en el tanque en cualquier instante de tiempo.

El descubrimiento de Newton y Leibniz en el siglo diecisiete sobre las ideas básicas del cálculo integral fue crucial para el avance que sufrieron las matemáticas, y más importante fue, si cabe, la relación que encontraron entre el cálculo integral y el diferencial, ya que consiguieron fundirlos en uno solo. Una de las aplicaciones de este descubrimiento fue la física aplicada, dícese, la Ingeniería. El maestro de Newton, Isaac Barrow, conocía ya la existencia de la relación entre la tangente en un punto a una curva (derivada) y el área de una región limitada de una curva (Integral Definida), pero fueron Newton y Leibniz los que comprendieron la importancia de esa relación. La derivada se utilizó, en principio, para el cálculo de la tangente en un punto, y pronto se vió que también servía para el cálculo de velocidades, y en consecuencia para el estudio de la variación de una función. Desde los primeros pasos en el cálculo diferencial, de todos es conocido que dada una función y = f(x), su derivada xf )´( dx dy = , en forma de diferencial de una función de una sola variable, es también una función que se puede encontrar mediante ciertas reglas como el Teorema Fundamental del Cálculo Integral, que nos muestra la vinculación entre la derivada de una función y la integral de dicha función ; si F(x) es la función integral que debe ser integrable en el intervalo [a,x] para cada x de [a,b], siendo c tal que ≤ ≤ bca tenemos que si ∫ = x c ( )() dttfxF ≤ ≤ bxa , existe entonces en cada punto x del intervalo abierto (a,b), en el que f es continua, y para tal x tenemos quedando demostrado la relación entre Integral y Derivada. xF )´( = xfxF )(