Diferenciacion e integracion numerica

 4.1  Diferenciacion Numerica.

Diferenciación numérica El cálculo de la derivada de una función puede ser un proceso "difícil" ya sea por lo complicado de la definición analítica de la función o por que esta se conoce únicamente en un número discreto de puntos. (Este es el caso si la función representa el resultado de algún experimento). En esta lección estudiaremos técnicas para aproximar las derivadas de una función y veremos el análisis de error de dichas formulas. Fórmulas para la primera derivada: La definición de la derivada de una función f(x) en el punto "x" está dada en términos del límite: De esta definición podemos decir que si "h" es pequeño entonces: (Note el símbolo de aproximación). Esto nos da inmediatamente la primera formula numérica para aproximar la derivada: Antes de ver algunos ejemplos donde usamos esta fórmula, tratemos de contestar la pregunta de ¿cuán buena es esta aproximación de la derivada? Por el Teorema de Taylor sabemos que: Donde esta entre x y x+h. Si despejamos ahora en esta fórmula por f'(x) y usamos la definición de tenemos que: Esta fórmula nos dice que aproxima a f'(x) con un error proporcional a "h", i.e., O(h). Formulas para la segunda derivada: El proceso de arriba se puede usar para obtener fórmulas para las derivadas de orden mayor de uno de una función f(x). Usamos este proceso para obtener una formula para la segunda derivada. Usando el Teorema de Taylor, podemos escribir las expansiones: Sumando estas dos expansiones y despejando para f''(x) obtenemos: Donde y esta entre [x-h,x+h]. Tenemos aqui una fomula de orden dos para f"(x). Diferenciación usando polinomios de interpolación: Suponga que son puntos distintos y sea pn(x) el polinomio que interpola a f(x) en estos puntos. Entonces aproximamos f '(x) por: Suponga que . Se puede demostrar que Aunque no discutiremos en más detalles este método para aproximar derivadas, si mencionamos que las dos formulas que discutimos para aproximar f '(x) se pueden obtener usando polinomios de interpolación de grados uno y dos respectivamente.

4.2 Integracion Numerica

En análisis numérico, la integración numérica constituye una amplia gama de algoritmos para calcular el valor numérico de una integral definida y, por extensión, el término se usa a veces para describir algoritmos numéricos para resolver ecuaciones diferenciales.

Hay varias razones para llevar a cabo la integración numérica. La principal puede ser la imposibilidad de realizar la integración de forma analítica. Es decir, integrales que requerirían un gran conocimiento y manejo de matemática avanzada pueden ser resueltas de una manera más sencilla mediante métodos numéricos. Incluso existen funciones integrables pero cuya primitiva no puede ser calculada, siendo la integración numérica de vital importancia.

La solución analítica de una integral nos arrojaría una solución exacta mientras que la solución numérica nos daría una solución aproximada.

Definición
La integración numérica es una técnica que se puede usar para aproximar el valor de la integral de una función que no sea posible anti diferenciar (integrar).Con el objeto de integrar numéricamente la integral comprendida en el intervalo cerrado [a, b], lo podemos hacer a través de dos métodos de integración  numérica: la Regla del trapecio y la Regla de Simpson.

REGLA DE TRAPECIO

Es un método para integrar numéricamente se denomina así porque el área descrita por la integral definida se aproxima mediante una suma de áreas de trapecios.

Se aproxima la función dividiendo el intervalo [a, b] en n intervalos de igual longitud y formando entonces trapecios por encima de cada intervalo.

Fórmula:

4.3 Integracion Multiple

Una forma relativamente sencilla de definir las integrales múltiples es mediante su representación geométrica como la magnitud del espacio entre el objeto definido por la ecuación ${\displaystyle {�}_{�+1}=�({�}_1,...,{�}_{�})}$ y una región ${\displaystyle �}$ en el espacio definido por los ejes de las variables independientes de la función ${\displaystyle �}$ (si ${\displaystyle �}$ es una región cerrada y acotada y ${\displaystyle �}$ está definida en ésta). Por ejemplo, si ${\displaystyle �=2}$, el volumen situado entre la superficie definida por ${\displaystyle {�}_3=�({�}_1,{�}_2)}$ y una región ${\displaystyle �}$ en el plano ${\displaystyle {�}_1{�}_2}$ es igual a alguna integral doble, si es que, como se mencionó, ${\displaystyle �}$ está definida en ${\displaystyle �}$.

${\displaystyle �}$ puede dividirse en una partición interior ${\displaystyle \mathrm{\Delta }}$ formada por ${\displaystyle �}$ subregiones rectangulares sin solapamiento que estén completamente contenidas en ${\displaystyle �}$. La norma ${\displaystyle ||\mathrm{\Delta }||}$ de esta partición está dada por la diagonal más larga en las ${\displaystyle �}$ subregiones.

Si se toma un punto ${\displaystyle ({�}_{1�},{�}_{2�},...,{�}_{��})}$ que esté contenido dentro de la subregión con dimensiones ${\displaystyle \mathrm{\Delta }{�}_{1�}\mathrm{\Delta }{�}_{2�}...\mathrm{\Delta }{�}_{��}}$ para cada una de las m subregiones de la partición, se puede construir un espacio con una magnitud aproximada a la del espacio entre el objeto definido por ${\displaystyle {�}_{�+1}=�({�}_1,...,{�}_{�})}$ y la subregión i. Este espacio tendrá una magnitud de:

${\displaystyle �({�}_{1�},{�}_{2�},\dots ,{�}_{��})\mathrm{\Delta }{�}_{�}=�({�}_{1�},{�}_{2�},\dots ,{�}_{��})\mathrm{\Delta }{�}_{1�}\mathrm{\Delta }{�}_{2�}\dots \mathrm{\Delta }{�}_{��}}$

Entonces se puede aproximar la magnitud del espacio entero situado entre el objeto definido por la ecuación ${\displaystyle {�}_{�+1}=�({�}_1,...,{�}_{�})}$ y la región ${\displaystyle �}$ mediante la suma de Riemann de las magnitudes de los ${\displaystyle �}$ espacios correspondientes a cada una de las subregiones:

${\displaystyle \sum _{�=1}^{�}�({�}_{1�},{�}_{2�},\dots ,{�}_{��})\mathrm{\Delta }{�}_{1�}\mathrm{\Delta }{�}_{2�}\dots \mathrm{\Delta }{�}_{��}}$

Esta aproximación mejora a medida que el número ${\displaystyle �}$ de subregiones se hace mayor. Esto sugiere que se podría obtener la magnitud exacta tomando el límite. Al aumentar el número de subregiones disminuirá la norma de la partición:

${\displaystyle \underset{�\to \mathrm{\infty }}{lim}\sum _{�=1}^{�}�({�}_{1�},{�}_{2�},\dots ,{�}_{��})\mathrm{\Delta }{�}_{1�}\mathrm{\Delta }{�}_{2�}\dots \mathrm{\Delta }{�}_{��}=\underset{\Vert \mathrm{\Delta }\Vert \to 0}{lim}\sum _{�=1}^{�}�({�}_{1�},{�}_{2�},\dots ,{�}_{��})\mathrm{\Delta }{�}_{1�}\mathrm{\Delta }{�}_{2�}\dots \mathrm{\Delta }{�}_{��}}$

El significado riguroso de este último límite es que el límite es igual L si y solo si para todo  existe un  tal que

para toda partición ${\displaystyle \mathrm{\Delta }}$ de la región ${\displaystyle �}$ (que satisfaga ), y para todas las elecciones posibles de ${\displaystyle ({�}_{1�},{�}_{2�},...,{�}_{��})}$ en la iésima subregión. Esto conduce a la definición formal de una integral múltiple:

Si ${\displaystyle �}$ está definida en una región cerrada y acotada ${\displaystyle �}$ del definido por los ejes de las variables independientes de f, la integral de ${\displaystyle �}$ sobre ${\displaystyle �}$ está dada por:

${\displaystyle \int \cdots {\int }_{�}�({�}_1,\dots ,{�}_{�})�{�}_1\cdots �{�}_{�}=\underset{\Vert \mathrm{\Delta }\Vert \to 0}{lim}\sum _{�=1}^{�}�({�}_{1�},{�}_{2�},\dots ,{�}_{��})\mathrm{\Delta }{�}_{1�}\mathrm{\Delta }{�}_{2�}\dots \mathrm{\Delta }{�}_{��}}$

siempre que el límite exista. Si el límite existe se dice que ${\displaystyle �}$ es integrable con respecto a T.

Es común que

${\displaystyle \int \cdots {\int }_{�}�({�}_1,\dots ,{�}_{�})�{�}_1\cdots �{�}_{�}}$

se denote por

${\displaystyle {\int }_{�}�(\mathbf{�}){�}^{�}\mathbf{�}}$

4.4 Aplicacion

Aplicaciones de Integrales Múltiples

Integrales Múltiple

Se presentan algunas de las aplicaciones tanto físicas como geométricas de las integrales múltiples, específicamente para las integrales dobles y para las integrales triples.

Las aplicaciones de las integrales triples, son similares a las aplicaciones de las dobles. Sus definiciones se obtienen a partir de la triple suma de Riemann; sin embargo a continuación se presentan de una vez con la integral triple correspondiente para cada una de ellas.

Las aplicaciones que se mencionan a continuación son:

• Volúmenes de sólidos en el espacio
• Masa
• Momentos estáticos
• Centros de masa
• Momentos de inercia de cuerpos en el espacio

Entre las aplicaciones de las integrales dobles, se tienen las aplicaciones geométricas y las físicas.

En el primer grupo se encuentran:

• Cálculo del área de una figura plana
• Cálculo de volúmenes de sólidos en el espacio

Entre las aplicaciones físicas están el cálculo de:

• Masa
• Momentos estáticos de figuras planas
• Centros de masa
• Momentos de inercia para una región bidimensional.